I Concetti matematici di base saranno proposti partendo da situazioni-problema che offrano all’alunno l’opportunità di scoprire correttamente regole e principi, per poi arrivare gradualmente e senza forzature, all’astrazione e alla generalizzazione degli stessi e, quindi, alla loro applicazione operativa in contesti quanto più possibile diversi e significativi.

L’apprendimento della matematica sarà inteso, quindi, come costruzione attiva del sapere; le informazioni fornite dall’esperienza saranno progressivamente trasformate in immagini mentali che porteranno alla costruzione di concetti gradualmente sempre più complessi e alla scoperta/acquisizione dei linguaggi più adatti per esprimerli e per comunicarli agli altri.

Ogni tappa del percorso didattico sarà presentata attraverso:

• mediatori attivi (esplorare, sperimentare e osservare)
• mediatori iconici (rappresentazioni soggettive delle esperienze con materiali o disegni)
• mediatori analogici (giochi, simulazioni, conversazioni, attività ludiche di gruppo per superare il contesto soggettivo attraverso il confronto)
• mediatori simbolici (rappresentazione consapevole mediante codici e simboli ormai lontani dalla realtà e dall’esperienza diretta)

Meta particolare sarà quella di favorire “la formazione di un atteggiamento positivo verso la matematica, intesa come valido strumento di conoscenza e di interpretazione critica della realtà, sia come affascinante attività del pensiero umano” (Indicazioni didattiche per la matematica, Programmi didattici per la scuola primaria 1985), obiettivo inserito anche tra i traguardi per lo sviluppo delle competenze al termine della scuola primaria delle Indicazioni per il curricolo.

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Obiettivo formativo

Sviluppare le capacità di porsi e risolvere problemi utilizzando al meglio le proprie abilità di ragionamento e intuizione, senza rinunciare prima di aver provato.

Schema dell'itinerario di lavoro generale

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Conoscenze

• Sapere che ci troviamo di fronte a un problema ogniqualvolta strategie e procedimenti conosciuti non ci permettono di risolvere una determinata situazione.
• Sapere che esistono anche situazioni non risolvibili, in mancanza delle informazioni necessarie allo scopo.
• Sapere che l'impegno e la disponibilità personali sono componenti importanti nella soluzione di un problema.
• Conoscere strutture matematiche che permettono di risolvere situazioni - esercizio.

Abilità

• Accettare di non riuscire a completare un lavoro, ad assolvere ad un compito dato, perché non si possiedono le conoscenze o gli strumenti necessari.
• Di fronte ad una situazione a cui non si sa dare una risposta immediata, riconoscerla come problema, soffermarsi a riflettere per cercare di affrontarla senza lasciarsi scoraggiare prima di aver provato ad analizzarla e a risolverla.
• Saper chiedere informazioni utili alla comprensione della situazione o alla sua soluzione.
• Imparare a discutere sull'interpretazione del testo del problema, sulla scelta delle strategie risolutive e sulla rappresentazione più opportuna, difendendo le proprie idee ed accettando quelle degli altri.
• Risolvere situazioni - problema di tipo diverso dedicando il tempo necessario ad ognuna delle seguenti fasi:
  • leggere/ascoltare ed interpretare il testo di una situazione - problema sia questo espresso in forma verbale, grafica o simbolica, comprendendo non solo i significati delle singole unità informative, ma soprattutto i loro legami e le implicazioni
  • ricercare una strategia risolutiva facendo ricorso alle proprie conoscenze, rilevando analogie e relazioni, utilizzando materiali e strumenti, formulando ipotesi e verificandole, procedendo per tentativi ed errori, ...
  • valutare i risultati ottenuti in relazione al contesto del problema per verificarne la validità e controllare la presenza di eventuali errori (avvio)
  • rappresentare la soluzione o le soluzioni impegnandosi affinché ciò che è scritto in forma verbale, grafica o simbolica, sia comprensibile agli altri
• Risolvere situazioni - esercizio: riconoscere, ricordare, riprodurre, applicare correttamente procedure note
• Apprendere e riprodurre, applicare correttamente procedure relative a concetti nuovi

Indicatori di competenza

• Affrontare con serenità situazioni - problema, partecipare alla loro descrizione, riflettere sugli elementi significativi, proporre strategie risolutive cercando di motivarle.
• Rappresentare la soluzione di situazioni - problema in modo chiaro e comprensibile.
• Analizzare e risolvere situazioni - esercizio e saperle rappresentare graficamente utilizzando consapevolmente le procedure apprese.

Descrizione dei livelli di competenza

Livello avanzato
Affronta con serenità situazioni - problema, partecipa spontaneamente alla loro descrizione, riflette sugli elementi significativi, propone strategie risolutive cercando di motivarle. Di fronte alle difficoltà non si disorienta, si attiva per superarle chiedendo informazioni e cerca di spiegare i passaggi che hanno determinato la sua incertezza. Rappresenta la soluzione di situazioni - problema in modo chiaro e comprensibile, riuscendo a spiegare il percorso seguito. Sa analizzare e risolvere situazioni - esercizio in completa autonomia, e sa rappresentarle graficamente utilizzando consapevolmente le procedure apprese.

Livello intermedio

Affronta con serenità situazioni – problema, anche se va incoraggiato a proseguire il lavoro in caso di difficoltà. Partecipa alla loro descrizione, se stimolato riflette sugli elementi significativi e propone strategie risolutive, ma non sempre riesce a spiegare in modo chiaro il percorso seguito. Rappresenta la soluzione di situazioni - problema in modo quasi sempre chiaro e comprensibile. Sa analizzare e risolvere situazioni - esercizio autonomamente, e sa rappresentarle graficamente utilizzando le procedure apprese.

Livello elementare

Si disorienta facilmente davanti a situazioni - problema e deve essere guidato in tutte le fasi del percorso, dalla comprensione della situazione alla sua soluzione, ma dimostra un atteggiamento positivo nei confronti delle attività e si impegna per migliorare. Necessita dell'aiuto dell'insegnante nell'analizzare situazioni – esercizio, che poi sa risolvere e rappresentare graficamente utilizzando le procedure apprese.

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Obiettivo formativo

Costruire ed acquisire ad un progressivo livello di astrazione i concetti aritmetici di base, il loro linguaggio simbolico e le regole di manipolazione dei numeri, al fine di saperli utilizzare in modo consapevole come strumenti indispensabili alla lettura e all'interpretazione della realtà, all'interazione e alla comunicazione.

I numeri naturali

Schema dell'itinerario di lavoro generale

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Conoscenze

lettura e scrittura

• Conoscere le caratteristiche principali dei sistemi di tipo additivo
  • Conoscere simboli e regole della numerazione romana
  • Sapere che la numerazione romana, in particolari situazioni, viene utilizzata ancora
• Consolidare e approfondire la conoscenza dei sistemi di numerazione di tipo moltiplicativo
  • Sapere che il numero delle cifre usate dipende dal numero della base
  • Sapere che la cifra che ha il valore maggiore deve essere minore del numero della base
  • Sapere che per trovare il valore di ciascuna posizione basta moltiplicare, partendo dalle unità, il valore della "colonna precedente" per il numero della base
  • Conoscere il significato e l'uso dello zero
  • Sapere che il nostro sistema di numerazione è in base dieci

relazioni tra i numeri

• Conoscere il significato dei simboli <, >, =
• Sapere che cos'è una successione (progressione aritmetica)
• Sapere che, in una successione ordinata di numeri, il precedente di un numero è quel numero che viene subito prima e il successivo è quel numero che viene subito dopo di un numero dato
• Sapere che, nella successione ordinata dei numeri naturali, il numero che segue è sempre "uno di più" del precedente
• Sapere che lo zero è il minore di tutti i numeri naturali e che quindi non ha un precedente
• Conoscere il precedente e il successivo di ogni numero
• Sapere che cosa significa "multiplo di un numero"
• Sapere che i multipli di un numero sono infiniti
• Sapere che cosa significa "divisore di un numero"
• Sapere che i divisori di un numero sono limitati
• Conoscere le regole che ci permettono di riconoscere senza ricorrere al calcolo, i multipli di 2, 3, 4, 5, 10
• Sapere che se un numero è il prodotto di due fattori uguali, è un numero quadrato
• Sapere che se un numero ha una sola coppia di divisori (se stesso e 1), è un numero primo

operazioni tra i numeri

• Consolidare e approfondire la conoscenza delle quattro operazioni aritmetiche e dei relativi algoritmi di calcolo

Abilità

lettura e scrittura

• Saper leggere e scrivere i numeri utilizzando la numerazione romana
• Utilizzare correttamente i sistemi di numerazione di tipo moltiplicativo
  • Scrivere e leggere correttamente il valore numerico di quantità contate in basi diverse ed in particolare in base dieci
  • Distinguere il numero dalla cifra
  • Riconoscere e individuare il valore di posizione delle cifre
  • Comporre e scomporre, utilizzando notazioni diverse i numeri in base dieci
  • Saper indicare con precisione il numero di unità, decine, centinaia, ... totali del numero
  • Eseguire equivalenze numeriche tra i numeri della base dieci

relazioni tra i numeri

• Individuare il precedente e il successivo di un numero naturale
• Confrontare coppie di numeri utilizzando correttamente i simboli <, >, =
• Ordinare progressivamente o regressivamente serie limitate di numeri
• Inserire numeri su una linea dei numeri data
• Costruire la linea dei numeri in funzione dei numeri che su essa si vogliono disporre
• Riconoscere i numeri pari e i numeri dispari
• Scoprire attraverso l'osservazione e la riflessione su esercizi/giochi eseguiti singolarmente o in piccolo gruppo o collettivamente, che
  • le espressioni "essere multiplo di" ed "essere divisibile per" sono equivalenti
  • le espressioni "essere multiplo di" ed "essere divisore di" sono relazioni inverse
  • ogni numero naturale è multiplo e, se diverso da zero, divisore di se stesso
  • ogni numero naturale è multiplo di 1 e quindi 1 è divisore di ogni numero naturale
  • zero è multiplo di ogni numero naturale
  • 1 è multiplo solo di se stesso
• Trovare/riconoscere i multipli di un numero
• Trovare tutti i divisori di un numero /riconoscere i divisori di un numero
• Scoprire quali sono i numeri primi e riconoscerli attraverso la ricerca dei divisori di un numero
• Costruire attraverso opportune rappresentazioni grafiche numeri figurati (triangolari, quadrati, ...) per scoprire proprietà e relazioni
• Costruire successioni secondo una regola data
• Scoprire la regola che ha generato una data successione
• Eseguire giochi con i numeri

operazioni tra i numeri

Schema dell'itinerario di lavoro generale

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• Eseguire addizioni e sottrazioni dimostrando di averne compreso il significato:
  • risolvere situazioni (aggiungere/togliere, mettere insieme/separare, confrontare)
  • intuire ed utilizzare in opportune situazioni proprietà e caratteristiche dell'addizione (sempre possibile, in N, commutativa e associativa, elemento neutro) e della sottrazione (non sempre possibile in N, invariantiva)
  • Eseguire addizioni e sottrazioni in colonna
• Eseguire moltiplicazioni e divisioni dimostrando di averne compreso il significato:
  • costruire, rappresentare graficamente ed analizzare uno schieramento
  • disporre gli schieramenti nelle tabelle di corrispondenza tra grandezze proporzionali omogenee o non omogenee
  • applicare gli opportuni operatori agli schieramenti nelle tabelle di corrispondenza
  • risolvere situazioni (ripetere, distribuire, "trasformare") rappresentandole graficamente in forma schematica e utilizzando la scrittura formale della moltiplicazione e della divisione
  • intuire ed utilizzare in opportune situazioni proprietà e caratteristiche della moltiplicazione (sempre possibile, in N, commutativa e associativa, distributiva rispetto all'addizione, elemento neutro, elemento assorbente) e della divisione (non sempre possibile in N, invariantiva, 0:0 indeterminata, 0:n impossibile)
  • memorizzare i prodotti tra numeri di una cifra per eseguire con precisione e rapidità calcoli mentali
  • eseguire moltiplicazioni in colonna o attraverso altre modalità (moltiplicazione a gelosia, ...)
  • eseguire divisioni con la tecnica della divisione canadese con numeri progressivamente più grandi
  • Eseguire senza incertezze moltiplicazioni e divisioni per 10, 100, 1000, ...
• Prima di fare qualsiasi calcolo soffermarsi a riflettere sui numeri tra i quali questo deve essere eseguito, per fare ipotesi sul risultato (pari o dispari, intervallo numerico nel quale può trovarsi, ... ) e per decidere consapevolmente quale sia la strategia più adatta in quello specifico caso (se non serve è inutile mettere in colonna, ...)
• Cercare ed applicare strategie che possono facilitare o semplificare il calcolo
• Verificare i calcoli eseguiti utilizzando la strategia più opportuna
• Utilizzare correttamente la terminologia specifica

I numeri razionali

Schema dell'itinerario di lavoro generale

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Conoscenze

• Sapere che anche le quantità non intere si possono rappresentare con un numero, si possono utilizzare utilizzare le frazioni o i numeri con la virgola
• Conoscere il significato matematico del termine frazione e sapere che questa si ottiene solo suddividendo l'intero in parti uguali
• Approfondire il concetto di frazione
• Conoscere la terminologia specifica (numeratore, denominatore, linea di frazione) e la modalità di scrittura formale
• Sapere che, sulla linea dei numeri, tra i numeri interi 0 e 1 ci sono infiniti numeri che rappresentano quantità non intere
• Conoscere la funzione della virgola nei numeri decimali
• Conoscere il valore di posizione delle cifre dopo la virgola
• Sapere che un numero può avere scritture diverse pur mantenendo lo stesso valore (24,57 da = 2,457 h)
• Conoscere strategie che permettono di semplificare i calcoli con i numeri decimali

Abilità

• Suddividere interi continui/discreti in parti uguali
• Riconoscere tra molti gli interi divisi in parti uguali
• Riconoscere e denominare ciascuna delle parti uguali
• Scrivere l'unità frazionaria utilizzando la scrittura formale
• Trovare la frazione unitaria di un numero
• Attraverso l'attività manipolativa e la successiva rappresentazione grafica contare o calcolare un numero dato di unità frazionarie uguali, denominare la parte ottenuta e scriverla sotto forma di frazione
• Rappresentare frazioni date con materiali o disegni
• Trovare la frazione complementare di una frazione data
• Collocare frazioni sulla linea dei numeri
• Dopo aver collocato le frazioni sulla linea dei numeri osservare e riflettere per scoprire che
  • le unità frazionarie occupano solo la prima metà dell'intervallo tra 0 e 1
  • l'unità frazionaria maggiore è 1/2
  • tra due unità frazionarie è minore quella con denominatore maggiore
  • esistono frazioni anche nella seconda metà dell'intervallo tra 0 e 1 e quindi ci sono frazioni maggiori di 1/2
  • una frazione con numeratore uguale al denominatore è collocata nello stesso punto del numero 1
  • ci sono frazioni che, pur avendo numeratore e denominatore diversi, corrispondono ad un medesimo punto e che quindi hanno lo stesso valore (frazioni equivalenti)
  • ci sono frazioni che si trovano dopo il numero 1 e quindi sono maggiori di 1
  • se una frazione corrisponde a un numero intero è una frazione apparente
  • tra due frazioni che hanno uguale denominatore è maggiore quella con il numeratore maggiore
  • tra due frazione che hanno uguale numeratore è maggiore quella che ha il denominatore minore
• Confrontare coppie di frazioni che hanno o numeratore o denominatore uguali,utilizzando le relazioni <, >
• Formulare le prime ipotesi, motivate, sul confronto tra frazioni che hanno numeratore e denominatore diversi
• Costruire frazioni equivalenti ad una frazione data
• Saper trovare frazioni equivalenti (proprietà invariantiva delle frazioni) ad una frazione data
• Ordinare serie limitate di frazioni
• Utilizzare la frazione come operatore su grandezze discrete per trovare la frazione di un numero
• Riconoscere le frazioni decimali
• Scoprire e costruire i numeri decimali
• Leggere e scrivere correttamente i numeri decimali
• Costruire la linea dei numeri corrispondente all'intervallo desiderato e collocare numeri decimali
• Collocare sulla linea dei numeri frazioni decimali e numeri decimali per scoprirne la corrispondenza
• Riconoscere la corrispondenza tra le frazioni decimali e i numeri decimali
• Dopo aver collocato i numeri decimali sulla linea dei numeri osservare e riflettere per scoprire che tra i numeri decimali non esiste il precedente e il successivo perché tra due numeri si può sempre inserirne un terzo
  Confrontare coppie di numeri decimali procedendo in modo ordinato nel confronto tra le cifre che hanno lo stesso valore
• Confrontare coppie di numeri decimali dopo aver "pareggiato" le cifre dopo la virgola (0,9 e 0,11: 0,9 = 0,90 quindi 0,90 > 0,11)
• Riconoscere e individuare con sicurezza il valore delle cifre dopo la virgola
• Confrontare e ordinare i numeri decimali
• Riconoscere l'equivalenza di scritture diverse di uno stesso numero
• Eseguire equivalenze numeriche
• Eseguire addizioni e sottrazioni in colonna tra numeri decimali
• Eseguire moltiplicazioni in colonna tra numeri decimali
• Eseguire divisioni tra numeri decimali con il dividendo intero
• Eseguire divisioni tra numeri decimali con entrambi i termini non interi

Indicatori di competenza

• Leggere e scrivere i numeri naturali e decimali dimostrando di aver compreso in modo stabile e sicuro il valore di posizione delle cifre.
• Leggere, scrivere, rappresentare frazioni e trovare la frazione di un numero.
• Confrontare coppie di numeri naturali e decimali utilizzando correttamente i simboli che ne indicano la relazione.
• Confrontare coppie di frazioni che hanno o numeratore o denominatore uguali, saperle collocare sulla linea dei numeri e saperle ordinare.
• Ordinare progressivamente e regressivamente serie limitate di numeri, utilizzando correttamente la semiretta numerica.
• Eseguire le quattro operazioni aritmetiche con i numeri naturali e decimali dimostrando di aver acquisito i concetti matematici che ne stanno alla base, di conoscerne le proprietà e le caratteristiche principali e di saper utilizzare con sicurezza gli algoritmi di calcolo.
• Eseguire con rapidità calcoli mentali.

Descrizione dei livelli di competenza

Livello avanzato
Legge e scrive i numeri naturali e decimali, riconoscendo senza incertezze il valore di posizione delle cifre; li confronta e li ordina usando correttamente i simboli e la linea dei numeri.
Esegue le quattro operazioni aritmetiche utilizzando consapevolmente gli algoritmi e applicando autonomamente strategie per semplificare il calcolo. È veloce e sicuro nel calcolo mentale.
Fraziona grandezze continue e discrete, denomina correttamente una o più parti, sa calcolare con sicurezza la frazione di un numero. Si dimostra automomo nel confrontare frazioni che hanno lo stesso numeratore oppure lo stesso denominatore, nel collocarle correttamente sulla linea dei numeri e nell'ordinarle. Sa fare ipotesi sul confronto tra frazioni con numeratore e denominatore diverso. In caso di errori o imprecisioni sa correggersi autonomamente.

Livello intermedio
Si dimostra sicuro nella lettura e nella scrittura dei numeri naturali e decimali, nel riconoscimento del valore di posizione delle cifre, nel confronto tra coppie di numeri e nell’ordinamento di serie limitate di numeri.
Esegue le quattro operazioni aritmetiche utilizzando correttamente gli algoritmi ed applicando opportune strategie per semplificare il calcolo.
Fraziona grandezze continue e discrete e denomina correttamente le parti anche facendo uso di materiale concreto. Si dimostra generalmente sicuro nel confrontare frazioni che hanno lo stesso numeratore oppure lo stesso denominatore, nel collocarle correttamente sulla linea dei numeri e nell'ordinarle.
Talvolta commette errori dovuti alla distrazione, alla frettolosità con cui lavora o alla mancanza di ordine e precisione. Sa correggersi dopo aver riflettuto sull'errore.

Livello elementare
Legge e scrive i numeri naturali anche se a volte incorre in errori se il numero è più complesso (per esempio in presenza di più zeri all'interno del numero). Legge e scrive i numeri decimali almeno con tre cifre dopo la virgola. Rivela ancora qualche incertezza nel riconoscere il valore di posizione delle cifre, ma sa correggersi dopo aver riflettuto sull'errore. Confronta coppie di numeri utilizzando correttamente i simboli; deve essere aiutato a gestire le informazioni, e a seguire una procedura sistematica che gli permetta di ordinare serie limitate di numeri.
Esegue le quattro operazioni aritmetiche utilizzando con sufficiente sicurezza gli algoritmi di calcolo, ma necessita ancora del supporto di materiali concreti o grafici, di aiuto o di incoraggiamento nelle situazioni più complesse. Rivela ancora incertezze nel calcolo mentale che non sa effettuare con adeguata velocità.
Necessita di materiale concreto o di aiuto per frazionare correttamente grandezze continue e discrete, per confrontare frazioni che hanno o stesso numeratore o stesso denominatore e per disporle sulla linea dei numeri.

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Obiettivo formativo

Sapersi orientare nello spazio dimostrando di utilizzare consapevolmente gli indicatori spaziali, effettuare percorsi e saperli rappresentare graficamente, per sviluppare una corretta percezione dello spazio fisico e imparare a porsi razionalmente nello stesso.

Imparare ad osservare, esplorare e manipolare le forme più semplici degli oggetti; imparare a riflettere sulle loro caratteristiche e a descriverle, in forma sempre più chiara, per giungere gradualmente alla formazione corretta dei concetti più astratti ed acquisire gli strumenti necessari a leggere ed interpretare correttamente tutto ciò che riguarda il porsi dell'individuo nello spazio fisico.

Schemi degli itinerari di lavoro

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Conoscenze

• Consolidare i concetti di distanza, direzione, verso, cambiamento di direzione, cambiamento di verso
• Conoscere ad un primo livello un sistema di riferimento cartesiano a coordinate naturali
  
• Sapere che le figure geometriche sono concetti che possono essere rappresentati attraverso modelli concreti (oggetti) o modelli grafici (disegni)
• Essere consapevoli che i modelli utilizzati hanno dei limiti oggettivi e non possono mai descrivere con precisione tutte le caratteristiche del concetto che rappresentano, alcune delle quali, pertanto, resteranno "ideali"
• Conoscere i modi per evidenziare graficamente le caratteristiche ideali di alcune figure (rette, semirette)
• Conoscere il significato dei termini punto, linea, retta, semiretta, segmento, piano, semipiano; poligonale e poligono, vertici e lati di una poligonale o di un poligono
• Conoscere il significato dei termini relativi al numero di lati e vertici dei poligoni: triangolo, quadrilatero, ...
• Acquisire ad un primo livello i concetti di rette parallele, incidenti, incidenti perpendicolari
• Acquisire ad un primo livello il concetto di angolo
• Conoscere il significato geometrico di "striscia"
• Sapere che cos'è l'altezza
• Sapere che un quadrilatero ha l'altezza solo se ha almeno una coppia di lati paralleli
• Sapere per quali poligoni ha senso parlare di altezza
• Conoscere le caratteristiche della simmetria assiale

Abilità

• Costruire mappe con un numero qualsiasi di caselle e individuare ogni casella mediante coordinate
• Costruire griglie e individuare la posizione di un punto nel piano mediante coordinate
• Individuare modelli concreti di punti, linee, piani, figure solide
• Disegnare e denotare punti, rette, semirette, segmenti, linee spezzate chiuse e semplici (poligonali)
• Riconoscere e disegnare poligoni di tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, dieci lati
• Riconoscere la posizione reciproca di due rette nel piano
  • comprendere attraverso l'attività manipolativa (uso di oggetti, piegature) e l'osservazione di rappresentazioni grafiche, che due rette distinte che non hanno la stessa direzione, possono avere al massimo un punto in comune
  • riconoscere ed individuare rette incidenti e il loro punto di incidenza
  • attraverso l'attività manipolativa (piegature, costruzione di modelli con carta trasparente) riconoscere la congruenza delle parti in cui viene diviso il piano da due rette incidenti: se sono tutte uguali le rette sono perpendicolari, se sono uguali a due a due, le rette sono incidenti non perpendicolari
  • comprendere attraverso l'attività manipolativa e l'osservazione di rappresentazioni grafiche, che due rette che hanno la stessa direzione, non hanno alcun punto in comune oppure li hanno tutti (rette coincidenti)
  • riconoscere ed individuare rette parallele
• Disegnare rette incidenti con il righello
• Disegnare rette incidenti perpendicolari e rette parallele con riga e squadra o con riga e compasso
• Classificare rette in base alla loro posizione reciproca
• Costruire i significati associati al termine angolo:
  • angolo come rotazione di una semiretta intorno alla sua origine
  • angolo come coppia di semirette con l'origine in comune
• Riconoscere e denominare gli elementi costitutivi dell'angolo (lati, vertici, regione angolare)
• Costruire, denominare, disegnare classificare angoli
  • Riconoscere l'angolo retto come la quarta parte di una rotazione completa (angolo giro) di una semiretta intorno al punto di origine.
  • Riconoscere l'angolo acuto come rotazione inferiore a un angolo retto
  • Riconoscere l'angolo piatto come rotazione di metà giro
  • Riconoscere l'angolo ottuso come rotazione maggiore dell'angolo retto e minore dell'angolo piatto
• Scoprire che se percorriamo l'intero contorno di un poligono eseguendo cambiamenti di direzione sempre a destra o sempre a sinistra, il poligono è convesso
• Scoprire che se percorriamo l'intero contorno di un poligono eseguendo cambiamenti di direzione sia a destra sia a sinistra, il poligono è concavo
• Riconoscere regioni piane concave e convesse
• Saper distinguere in una figura piana chiusa il tipo di contorno: linea curva, linea spezzata, linea mista
• Riconoscere poligoni e non poligoni
• Riconoscere e disegnare poligoni di tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove, dieci lati
• Identificare con sicurezza alcuni elementi dei poligoni: vertici, lati, diagonali; angoli interni e angoli esterni limitatamente a poligoni convessi
• Studiare i quadrilateri
  • Costruire quadrilateri con listelli, cannucce, strisce
  • Sperimentare la costruibilità di un quadrilatero
  • Riconoscere, denominare disegnare e classificare quadrilateri secondo i criteri diversi: concavo/convesso, parallelismo dei lati opposti, congruenza dei lati, tipologia degli angoli interni, congruenza degli angoli, congruenza delle diagonali, posizione reciproca dei punti medi delle due diagonali, perpendicolarità delle diagonali, presenza e numero degli assi di simmetria
  • Attraverso l'attività manipolativa, scoprire la somma della misura degli angoli interni di un quadrilatero
  • Attraverso l'attività motoria, scoprire la somma della misura degli angoli esterni di un quadrilatero
  • Riflettere sulle motivazioni per cui la somma delle misure degli angoli interni e quella delle misure degli angoli esterni resta la stessa per qualsiasi tipo di quadrilatero
  • Disegnare quadrilateri utilizzando correttamente riga, squadra, compasso
• Scoprire l'altezza nei poligoni
  • Individuare strisce in un piano
  • Individuare, costruire, disegnare l'altezza di una striscia
  • Collocare un poligono all'interno di una striscia (in modo che ogni vertice appartenga ad una delle rette della striscia)
  • Riconoscere i poligoni che possono/non possono essere collocati all'interno di una striscia
  • Escludere con sicurezza i quadrilateri che non possono avere alcuna altezza
  • Individuare, costruire, disegnare le altezze di un quadrilatero dopo aver evidenziato le coppie di lati paralleli
• Trovare il perimetro di un poligono
  • Utilizzando unità di misure arbitrarie (lato di un quadretto, diagonale di un quadretto, ...), attraverso esperienze di manipolazione (spago, fili metallici, ...) per rettificare le linee, determinare la lunghezza di linee limitate
  • Dato un poligono saper disegnare un segmento la cui lunghezza sia uguale al perimetro del poligono
  • Confrontare il perimetro di poligoni diversi per numero di lati e concavità/convessità
  • Sperimentare che la misura del perimetro di un poligono non dipende dal numero dei suoi lati
  • Scoprire che il perimetro di un poligono è uguale alla somma delle lunghezze dei lati del poligono
  • Trovare strategie di calcolo adeguate per trovare la misura del perimetro di un poligono
  • Riflettere sulla varietà di modi aritmetici per giungere alla misura del perimetro di un poligono e saper scegliere il procedimento più adatto al proprio modo di ragionare
  • Calcolare il perimetro dei quadrilateri
• Sperimentare il calcolo dell'area dei quadrilateri
• Realizzare anche con l'uso di materiale concreto e con disegni, la corrispondente di una figura geometrica piana sottoposta a una simmetria assiale
• Individuare elementi simmetrici nella realtà
• Realizzare figure simmetriche attraverso la manipolazione (macchie di colore e piegature, ritagli, ricalco dalla finestra, uso del punteruolo
• Realizzare figure simmetriche su carta quadrettata prima con l'asse coincidente con i lati della quadrettatura e poi con asse obliquo rispetto alla quadrettatura (la figura potrà avere sull'asse un lato, alcuni punti del contorno, nessun punto del contorno)
• Costruire attraverso l'attività ludica e manipolativa una definizione costruttiva di una simmetria assiale
• Analizzare figure simmetriche per riflettere sulle loro caratteristiche
• Utilizzare il software GeoGebra per
  • potenziare le capacità logiche e creative e la "visualizzazione" geometrica
  • evidenziare in modo più accurato gli elementi di una figura
  • disegnare in modo più preciso le figure geometriche rispettandone proprietà e caratteristiche
  • fissare le proprietà indispensabili per definire una figura geometrica
  • riuscire a costruire figure che sarebbero complesse per alunni della scuola primaria se fatte con gli strumenti classici
  • potenziare l'acquisizione di un linguaggio specifico
  • approfondire conoscenze ed abilità attraverso il lavoro cooperativo, il confronto e la discussione con i compagni

Indicatori di competenza

• Saper utilizzare con sicurezza un sistema di riferimento cartesiano a coordinate naturali per individuare la posizione di punti nel piano.
• Riconoscere, denominare, disegnare le figure geometriche studiate dimostrando di averne compreso le caratteristiche fondamentali
• Saper calcolare il perimetro di figure poligonali utilizzando la strategia più adatta al proprio modo di ragionare e dimostrando di aver compreso che il perimetro è una grandezza di tipo lineare.
• Individuare simmetrie in oggetti o figure date, realizzare e rappresentare graficamente semplici simmetrie

Descrizione dei livelli di competenza

Livello avanzato
Individua senza incertezze la posizione di punti nel piano mediante un sistema di riferimento cartesiano a coordinate naturali.
Riconosce e denomina correttamente figure geometriche, ne identifica con sicurezza le caratteristiche e le disegna utilizzando in modo sicuro e preciso gli strumenti (riga, squadra, compasso).
Individua simmetrie in oggetti o figure date; realizza e rappresenta graficamente simmetrie scegliendo le strategie, i materiali o gli strumenti più adatti alla situazione che si trova ad affrontare.

Livello intermedio
Individua la posizione di punti nel piano mediante un sistema di riferimento cartesiano a coordinate naturali, ma talvolta compie errori dovuti alla distrazione o alla superficialità con cui lavora.
Riconosce e denomina correttamente figure geometriche, ne identifica con sicurezza le caratteristiche e le disegna utilizzando in modo adeguato anche se non sempre preciso gli strumenti (riga, squadra, compasso).
Individua simmetrie in oggetti o figure date; realizza e rappresenta graficamente semplici simmetrie.

Livello elementare
Necessita ancora di supporto nell'individuare con precisione i punti nel piano mediante un sistema di riferimento cartesiano a coordinate naturali. Si impegna nella costruzione di figure geometriche mediante la manipolazione e il movimento, ne riconosce le principali proprietà e sa disegnarle rispettandone le caratteristiche fondamentali, anche se in forma non sempre precisa.
Individua simmetrie in oggetti o figure, ma non sempre è in grado di realizzare e rappresentare autonomamente la simmetrica di una figura data.

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Obiettivo formativo

Esprimersi in forma sempre più chiara e precisa, utilizzando consapevolmente la corretta terminologia specifica del linguaggio matematico nei suoi diversi aspetti, verbale e simbolico, al fine di riuscire a comunicare idee, esperienze, procedimenti in modo logico e sempre più strutturato.

Relazioni, linguaggi logici, classificazioni

Schema dell'itinerario di lavoro specifico

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Conoscenze

• Sapere che gli enunciati logici sono frasi che devono essere sicuramente vere o sicuramente false
• Conoscere il significato e l'uso della negazione in un enunciato
• Conoscere il significato dei termini "classificare", "classificazione"
• Conoscere la struttura dei diagrammi di Venn, ad albero, di Carroll
• Comprendere in contesti semplici l'operazione di intersezione tra due insiemi
• Comprendere in contesti semplici l'operazione di unione tra insiemi disgiunti
• Conoscere il significato dei connettivi "e" ed "o"
• Conoscere le regole di assegnazione del valore di verità ad un enunciato composto
• Conoscere il significato del termine relazione
• Conoscere la relazione di equivalenza "... è uguale a ..."
• Conoscere le relazioni d'ordine "... è minore di ..." e "... è maggiore di ..."

Abilità

• Formulare enunciati atomici ed attribuire loro il valore di verità
• Utilizzare la negazione per cambiare il valore di verità di un enunciato
• Attribuire il valore di verità ad un enunciato che contenga una o più negazioni
• Classificare gli elementi di un universo dopo aver scelto un attributo adatto
• Rappresentare una classificazione effettuata utilizzando correttamente i diagrammi di Venn, ad albero, di Carroll
• Usare correttamente i quantificatori universali "tutti", "ogni", "nessuno" e i quantificatori esistenziali "alcuni", "almeno uno", "non tutti", "qualche" per descrivere una classificazione effettuata o data
• Classificare secondo due criteri
• Individuare l'intersezione tra due insiemi
  • In un universo formare due sottoinsiemi e cercare gli elementi che possiedono contemporaneamente due proprietà date
  • Individuare l'insieme intersezione come quello costituito da tutti gli elementi comuni ai due insiemi dati
  • Rappresentare graficamente l'intersezione tra due insiemi utilizzando correttamente i diagrammi di Venn, ad albero, di Carroll
  • Dato un diagramma vuoto e indicati l'universo e le proprietà utilizzate per la classificazione, scrivere i "cartellini" ed inserire in modo appropriato ciascun elemento
  • Dato un diagramma con un'intersezione, individuare le definizioni relative ad ogni insieme (uso del connettivo "e" e della negazione)
• Individuare l'unione tra due insiemi disgiunti
  • Compiere, utilizzando materiale concreto, l'operazione di unione tra due insiemi disgiunti
  • Identificare l'insieme unione con il tutto
  • Identificare le parti con gli insiemi disgiunti che formato il tutto
  • Rappresentare graficamente l'operazione di unione tra insiemi disgiunti effettuata, utilizzando correttamente i diagrammi di Venn, ad albero, di Carroll
  • Dato un diagramma, individuare le definizioni relative ad ogni insieme (utilizzo del connettivo "aut")
• Individuare l'unione tra due insiemi non disgiunti
  • Data una rappresentazione in cui sono presenti due insiemi non disgiunti, cercare tutti gli elementi che possiedono una o l'altra o entrambe le proprietà in base a cui è stata fatta la classificazione
  • Identificare l'insieme in cui sono compresi tutti gli elementi trovati come l'unione dei due insiemi
  • Rappresentare graficamente l'operazione di unione tra due insiemi effettuata, utilizzando correttamente i diagrammi di Venn e di Carroll
  • Descrivere le caratteristiche degli elementi che fanno parte dell'insieme unione (utilizzo del connettivo "vel")
• Usare correttamente i connettivi: congiunzione (e), disgiunzione esclusiva (aut), disgiunzione inclusiva (vel)
  • Dato un universo con quattro elementi e dati due attributi degli elementi, descrivere ogni elemento con un enunciato atomico prendendo in considerazione ogni attributo e la sua negazione
  • Classificare gli elementi in base agli attributi dati e rappresentare la classificazione facendo un uso corretto dei diagrammi conosciuti (di Venn, ad albero, di Carroll)
  • Verbalizzare i diagrammi che rappresentano la classificazione
  • Assegnare il valore di verità ad un enunciato composto
  • Comporre enunciati con la congiunzione, la disgiunzione esclusiva, la disgiunzione inclusiva e assegnare loro il valore di verità
  • Descrivere ogni elemento con un enunciato composto da due enunciati semplici e da un connettivo
  • Eseguire semplici consegne date da un enunciato composto
  • Assegnare il valore di verità ad un enunciato composto, dato il valore di verità di ognuno dei due enunciati semplici
  • Assegnare il valore di verità ad uno dei due enunciati semplici, dato un enunciato composto, il suo valore di verità e il valore di verità dell'altro enunciato semplice
  • Comunicare informazioni con enunciati composti
• Stabilire relazioni tra gli elementi di insiemi disgiunti
  • Rappresentare graficamente relazioni per mezzo di frecce
  • Dati due insiemi i cui elementi sono posti in relazione, scoprire la relazione
  • Scoprire la relazione inversa a una relazione data
  • Rappresentare relazioni per mezzo di tabelle a doppia entrata
• Stabilire relazioni tra elementi di uno stesso insieme
  • Mettere in relazione gli elementi di un insieme con una relazione di equivalenza
  • Mettere in relazione gli elementi di un insieme con una relazione d'ordine
  • Ordinare gli elementi dell'insieme secondo la relazione applicata e rappresentare graficamente l'ordinamento ottenuto
  • Rappresentare graficamente relazioni di equivalenza/d'ordine
  • Dato un insieme stabilire in esso relazioni di equivalenza/d'ordine e applicarle
  • Utilizzare correttamente la relazione di equivalenza "... è uguale a ..." e le relazioni d'ordine "... è minore di ..." e "... è maggiore di ..."
  • Riflettere sulle caratteristiche delle relazioni di equivalenza e di ordine

Misura

Schema dell'itinerario di lavoro specifico

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Conoscenze

• Sapere che si misurano le grandezze (caratteristiche misurabili) e non gli oggetti
• Sapere che i campioni utilizzati per misurare devono contenere una grandezza omogenea a quella da misurare
• Sapere che la grandezza posseduta dal campione costituisce l'unità di misura
• Sapere che la misura, per quanto possa essere accurata, contiene sempre un errore di cui è necessario tener conto
• Conoscere l'ortografia e la sintassi del Sistema Internazionale di misura relative a lunghezze, aree, masse, capacità, ampiezze angolari
• Conoscere il sistema monetario europeo
• Sapere che il perimetro è la lunghezza del contorno di un poligono
• Sapere che l'area è l'estensione superficiale di una figura piana

Abilità

• Identificare in un oggetto le proprietà che si possono misurare
• Effettuare confronti diretti tra grandezze
  • Confrontare due o più grandezze per mezzo di relazioni d'ordine (è più/meno lungo) o di relazioni di equivalenza (è lungo come)
  • Ordinare più grandezze per mezzo del confronto diretto
• Effettuare confronti indiretti tra grandezze con l'uso di campioni arbitrari
  • Stabilità l'impossibilità di effettuare un confronto diretto tra due grandezze, cercare un campione di misura per poter effettuare un confronto indiretto
  • Date alcune grandezze, saper proporre campioni di misura adeguati
  • Dati vari campioni e un oggetto con una grandezza da misurare assegnata, scegliere il campione più adatto
  • Confrontare grandezze utilizzando campioni che possiedono grandezze maggiori, minori, uguali alla grandezza da misurare
  • Dato un campione con grandezza minore di quella da misurare, riportarlo più volte sulla grandezza da misurare e contare il numero di volte
  • Riconoscere il numero di volte in cui è stato riportato il campione come la misura della grandezza misurata
  • Scoprire, attraverso attività concrete, che campioni diversi danno misure diverse, ma che la grandezza da misurare rimane invariata
  • Scoprire che più l'unità di misura è grande, più è piccolo il numero ottenuto come misura
  • Scoprire che campioni piccoli permettono misure più accurate
  • Scoprire ed utilizzare multipli e sottomultipli dell'unità di misura scelta
  • Misurare con estrema cura, ripetendo più volte la misurazione per ridurre il più possibile l'errore
  • Confrontare e discutere i risultati delle misurazioni di una stessa grandezza per un approccio alla problematica dell'errore e dell'approssimazione della misura
  • Misurare approssimando per eccesso o per difetto
  • Saper valutare ad occhio
• Effettuare confronti indiretti tra grandezze con l'uso contemporaneo di più campioni
  • senza relazioni di multiplo
  • con relazioni di multiplo
• Scoprire ed utilizzare multipli e sottomultipli dell'unità di misura scelta
• Costruire e saper utilizzare le unità di misura del Sistema Internazionale di misura
  • Attraverso le attività pratiche di misurazione con campioni arbitrari, comprendere che è necessario usare campioni convenzionali
  • Scoprire le unità di misura standard relativamente a lunghezza, estensione superficiale, ampiezza angolare, peso, capacità
  • Misurare grandezze di tipo lineare utilizzando le unità di misure convenzionali
    • Utilizzare il metro/chilogrammo/litro
    • Costruire i sottomultipli del metro/chilogrammo/litro
    • Costruire i multipli del metro /chilogrammo/litro
  • Eseguire equivalenze tra misure lineari
  • Misurare estensioni superficiali limitatamente a figure molto semplici
  • Risolvere semplici situazioni - esercizio sull'uso dell'euro e dei suoi sottomultipli

Dati e previsioni

Conoscenze

• Conoscere rappresentazioni iconiche di semplici dati.
• Rendersi conto di situazioni di incertezza.

Abilità

• Raccogliere dati inerenti ad una situazione da analizzare.
• Rappresentare i dati raccolti con semplici schemi.
• Riconoscere, in base alle informazioni in proprio possesso, se una situazione è certa o incerta.
• Usare in modo consapevole le espressioni “forse”, “è possibile”, “è sicuro”, “è impossibile”, “non so”.

Indicatori di competenza

• Saper classificare elementi in base a due attributi e rappresentare la classificazione effettuata utilizzando correttamente i diagrammi.
• Saper mettere in relazione gli elementi di insiemi disgiunti o di uno stesso insieme e rappresentare graficamente le relazioni effettuate o gli ordinamenti ottenuti.
• Descrivere operazioni logiche effettuate utilizzando una corretta terminologia e una forma progressivamente più strutturata.
• Misurare grandezze scegliendo campioni adeguati, avendo consapevolezza che la misura contiene sempre un errore che può essere ridotto lavorando con precisione e cura. Utilizzare con sicurezza le unità del Sistema Internazionale per effettuare misurazioni.
• Saper rappresentare i dati raccolti in una semplice indagine, facendo uso di diagrammi, schemi, tabelle.
• Saper decidere, sulla base delle informazioni disponibili, se in una data situazione è possibile o meno il verificarsi di un evento.

Descrizione dei livelli di competenza

Livello avanzato
Sa classificare gli elementi di un universo in base a due criteri, mette in relazione coppie di elementi e riconosce la relazione che le collega; sa rappresentare graficamente le classificazioni effettuate o le relazioni trovate, dimostrando il pieno possesso degli strumenti studiati che utilizza in modo consapevole ed in forma curata e ordinata.
Sa misurare grandezze scegliendo campioni adeguati e dimostrando di essere consapevole che la misura contiene sempre un errore che può essere ridotto lavorando con precisione e cura. Conosce e usa con sicurezza le unità del Sistema Internazionale.
Sa rappresentare i dati raccolti in una semplice indagine, facendo uso di diagrammi, schemi, tabelle.
Sulla base delle informazioni disponibili decide autonomamente se, in una data situazione, è possibile o meno il verificarsi di un evento; è in grado di motivare le proprie scelte.

Livello intermedio
Sa classificare gli elementi di un universo in base a due criteri, mette in relazione coppie di elementi e riconosce la relazione che le collega; sa rappresentare graficamente le classificazioni effettuate o le relazioni trovate, dimostrando di saper utilizzare gli strumenti studiati in forma quasi sempre curata e ordinata.
Sa misurare grandezze scegliendo campioni adeguati, ma non sempre opera con precisione e cura e dimentica di controllare con attenzione il risultato della misurazione per ridurne il più possibile l'errore. Conosce le unità del Sistema Internazionale, ma talvolta va invitato all'attenzione nel loro utilizzo.
Sa rappresentare con discreta precisione i dati raccolti in una semplice indagine, facendo uso di diagrammi, schemi, tabelle.
Sa decidere, sulla base delle informazioni disponibili, se in una data situazione è possibile o meno il verificarsi di un evento.

Livello elementare
Sa classificare gli elementi di un universo in base ad un criterio e mettere in relazione coppie di elementi; deve essere guidato nella classificazione in base a due criteri e nell’impostare la rappresentazione grafica delle classificazioni effettuate, delle relazioni trovate o dei dati raccolti in una semplice indagine, che poi sa realizzare anche se non ancora in forma precisa e ordinata.
Conosce le unità del Sistema Internazionale, ma non sempre è in grado di utilizzarle in forma precisa e del tutto corretta per effettuare misurazioni o per risolvere situazioni - esercizio che le richiedano.
Se invitato alla riflessione e guidato nell’analisi della situazione, sa rappresentare i dati raccolti in una semplice indagine e sa decidere, sulla base delle informazioni disponibili, se è possibile o meno il verificarsi di un evento.

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Per la stesura della programmazione sono stati consultati i libri della collana "Ricostruiamo la matematica" di Clara Colombo Bozzolo e Angela Costa, edizioni Erickson.

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